113. В прямоугольном треугольнике AC = 24 см и BC = 36 см проведены медианы AM и BE, пересекающиеся в точке O. Найти длины отрезков AO и OM.

Решение:
Отрезок AM - медиана треугольника ABC, значит, CM = CB = 36/2 = 18 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. По теореме Пифагора:
$$AM^2 = AC^2 + CM^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$$
$$AM = \sqrt{900} = 30$$ см.

По свойству медиан, точка O делит медиану AM в отношении 2:1, считая от вершины A. То есть AO : OM = 2 : 1.
Пусть OM = x, тогда AO = 2x. Значит, AO + OM = AM, то есть 2x + x = 30.
3x = 30
x = 10

Следовательно, OM = 10 см, AO = 2 * 10 = 20 см.

Ответ: AO = 20 см, OM = 10 см.