1140*. Solve the following system of equations: \(\frac{4}{x} - \frac{3}{y} = 1\) \(\frac{2}{x} + \frac{1}{z} = 4\) \(\frac{1}{y} - \frac{1}{z} = 0\)

Решение:

Обозначим \( a = \frac{1}{x} \), \( b = \frac{1}{y} \), \( c = \frac{1}{z} \). Тогда система примет вид:

1) \( 4a - 3b = 1 \)

2) \( 2a + c = 4 \)

3) \( b - c = 0 \) \( \Rightarrow \) \( b = c \)

Из (3) следует, что \( b = c \). Подставим \( c = b \) во второе уравнение:

\( 2a + b = 4 \) (4)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными \( a \) и \( b \):

1) \( 4a - 3b = 1 \)

4) \( 2a + b = 4 \)

Из уравнения (4) выразим \( b \): \( b = 4 - 2a \).

Подставим это выражение в уравнение (1):

\( 4a - 3(4 - 2a) = 1 \)

\( 4a - 12 + 6a = 1 \)

\( 10a = 13 \)

\( a = \frac{13}{10} \)

Теперь найдем \( b \):

\( b = 4 - 2a = 4 - 2 \cdot \frac{13}{10} = 4 - \frac{26}{10} = \frac{40 - 26}{10} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} \)

Так как \( b = c \), то \( c = \frac{7}{5} \).

Теперь вернемся к исходным переменным:

\( a = \frac{1}{x} = \frac{13}{10} \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{10}{13} \)

\( b = \frac{1}{y} = \frac{7}{5} \) \( \Rightarrow \) \( y = \frac{5}{7} \)

\( c = \frac{1}{z} = \frac{7}{5} \) \( \Rightarrow \) \( z = \frac{5}{7} \)

Проверим первое уравнение: \( \frac{4}{10/13} - \frac{3}{5/7} = 4 \cdot \frac{13}{10} - 3 \cdot \frac{7}{5} = \frac{52}{10} - \frac{21}{5} = \frac{26}{5} - \frac{21}{5} = \frac{5}{5} = 1 \). Верно.

Проверим второе уравнение: \( \frac{2}{10/13} + \frac{1}{5/7} = 2 \cdot \frac{13}{10} + \frac{7}{5} = \frac{26}{10} + \frac{7}{5} = \frac{13}{5} + \frac{7}{5} = \frac{20}{5} = 4 \). Верно.

Проверим третье уравнение: \( \frac{1}{5/7} - \frac{1}{5/7} = \frac{7}{5} - \frac{7}{5} = 0 \). Верно.

Ответ: x = \(\frac{10}{13}\), y = \(\frac{5}{7}\), z = \(\frac{5}{7}\).