1149 Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

а) Пусть прямая L не проходит через центр симметрии O. Возьмем на L две точки A и B. При центральной симметрии они отобразятся в точки A' и B' соответственно. Прямая L' проходит через A' и B'. Так как O не лежит на L, то A' и B' не совпадают с A и B. Если бы L' совпадала с L, то O было бы центром симметрии L, что противоречит условию. Следовательно, L' параллельна L.

б) Если прямая L проходит через центр симметрии O, то любая точка A на L отображается в точку A' на L такую, что O является серединой отрезка AA'. Если A=O, то A'=O. Если A≠O, то A'≠O. Таким образом, прямая L отображается сама на себя.

Доказано.