1149. Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если: а) AB = 8 см, ∠A = 30°, ∠B = 45°; б) AB = 5 см, ∠B = 45°, ∠C = 60°; в) AB = 3 см, BC = 3,3 см, ∠A = 48°30′; г) AC = 10,4 см, BC = 5,2 см, ∠B = 62°48′.

Обозначим стороны стандартно: a = BC, b = AC, c = AB. Используем теорему синусов: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\).

а) Сначала найдём третий угол: \(C=180°-30°-45°=105°\). По теореме синусов:

\(a=\frac{8\sin30°}{\sin105°}\approx4{,}14\) см;

\(b=\frac{8\sin45°}{\sin105°}\approx5{,}86\) см.

Ответ: \(AC\approx5{,}86\) см, \(BC\approx4{,}14\) см, \(\angle C=105°\).

б) Находим третий угол: \(A=180°-45°-60°=75°\). Тогда:

\(a=\frac{5\sin75°}{\sin60°}\approx5{,}58\) см;

\(b=\frac{5\sin45°}{\sin60°}\approx4{,}08\) см.

Ответ: \(AC\approx4{,}08\) см, \(BC\approx5{,}58\) см, \(\angle A=75°\).

в) Здесь \(a=3{,}3\) см, \(c=3\) см, \(A=48°30′\). По теореме синусов:

\(\sin C=\frac{c\sin A}{a}=\frac{3\sin48°30′}{3{,}3}\approx0{,}6809\).

Получаются два возможных значения угла C: около \(42{,}9°\) и \(137{,}1°\). Второе невозможно, поскольку вместе с углом A сумма превысит \(180°\). Значит, \(C\approx42{,}9°\), а \(B=180°-48°30′-C\approx88{,}6°\).

Оставшуюся сторону найдём по теореме синусов: \(b=\frac{3{,}3\sin B}{\sin A}\approx4{,}41\) см.

Ответ: \(AC\approx4{,}41\) см, \(\angle B\approx88{,}6°\), \(\angle C\approx42{,}9°\).

г) Здесь \(a=5{,}2\) см, \(b=10{,}4\) см, \(B=62°48′\). По теореме синусов:

\(\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{\sin62°48′}{2}\approx0{,}4445\).

Следовательно, \(A\approx26{,}4°\). Дополнительное значение угла A невозможно, так как сумма углов треугольника превысила бы \(180°\). Тогда \(C=180°-62°48′-A\approx90{,}8°\).

Найдём третью сторону: \(c=\frac{b\sin C}{\sin B}\approx11{,}55\) см.

Ответ: \(AB\approx11{,}55\) см, \(\angle A\approx26{,}4°\), \(\angle C\approx90{,}8°\).