115. Медиана AM треугольника ABC равна отрезку BM. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов.

Решение:

Пусть AM — медиана треугольника ABC, проведенная к стороне BC. По условию AM = BM. Так как BM = MC (по определению медианы), то AM = BM = MC. Рассмотрим треугольники ABM и AMC.

В треугольнике ABM AM = BM, значит, он равнобедренный. Следовательно, \( \angle BAM = \angle ABM \).

В треугольнике AMC AM = MC, значит, он равнобедренный. Следовательно, \( \angle MAC = \angle MCA \).

Сумма углов треугольника ABC равна \( 180^{\circ} \): \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \).

Заменим \( \angle BAC \) на \( \angle BAM + \angle MAC \) и \( \angle ABC \) на \( \angle ABM \) и \( \angle BCA \) на \( \angle MCA \):

\( \angle BAM + \angle MAC + \angle ABM + \angle MCA = 180^{\circ} \)

Так как \( \angle BAM = \angle ABM \) и \( \angle MAC = \angle MCA \), заменим:

\( \angle ABM + \angle MCA + \angle ABM + \angle MCA = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle ABM + 2 \angle MCA = 180^{\circ} \)

\( \angle ABM + \angle MCA = 90^{\circ} \)

Теперь рассмотрим \( \angle BAC \) как внешний угол треугольника ABM при вершине A. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов: \( \angle BAC = \angle ABM + \angle MCA \).

Итак, \( \angle BAC = \angle ABC + \angle ACB \).

Ответ: Доказано.