115. Упростите: 1) \(\left(\dfrac{a^{4/3}b+ab^{4/3}}{a^{1/3}+b^{1/3}}\cdot\dfrac{1}{a^{1/3}b^{1/3}}\right)^3\); 2) \(\dfrac{a^{1/3}-b^{1/3}}{\sqrt[3]{ab}}\cdot\dfrac{ab^{1/3}-a^{1/3}b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\); 3) \(\dfrac{a^{2/3}-b^{2/3}}{a^{1/3}+b^{1/3}}\cdot\dfrac{a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}}{a^{1/3}-b^{1/3}}\); 4) \(\dfrac{a^{4/3}-b^{4/3}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}\cdot\dfrac{a^{4/3}-\sqrt[3]{a^2b^2}+b^{4/3}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\).

1. В числителе первой дроби вынесем общий множитель:

   \(a^{4/3}b+ab^{4/3}=ab(a^{1/3}+b^{1/3})\).

   Тогда выражение равно \(\left(\dfrac{ab}{\sqrt[3]{ab}}\right)^3=((ab)^{2/3})^3=a^2b^2\).

2. Положим \(x=\sqrt[3]{a}\), \(y=\sqrt[3]{b}\). Тогда выражение принимает вид

   \(\dfrac{x-y}{xy}\cdot\dfrac{xy(x^2-y^2)}{x+y}=(x-y)^2\).

   Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем \((\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2\).

3. Обозначим \(x=\sqrt[3]{a}\), \(y=\sqrt[3]{b}\). Используем разность квадратов:

   \(\dfrac{x^2-y^2}{x+y}\cdot\dfrac{x^2+xy+y^2}{x-y}=(x-y)\cdot\dfrac{x^2+xy+y^2}{x-y}=x^2+xy+y^2\).

   Ответ в исходных обозначениях: \(a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}\).

4. Пусть \(x=\sqrt[3]{a}\), \(y=\sqrt[3]{b}\). Тогда

   \(\dfrac{x^4-y^4}{x-y}\cdot\dfrac{x^4-x^2y^2+y^4}{x+y}=(x+y)(x^2+y^2)\cdot\dfrac{x^4-x^2y^2+y^4}{x+y}\).

   После сокращения и применения формулы \((x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)=x^6+y^6\) получаем \(a^2+b^2\).

Ответ: 1) \(a^2b^2\); 2) \((\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2\); 3) \(a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}\); 4) \(a^2+b^2\).