115. Упростите выражения: 1) \(\left(\frac{a^{4/3}b+ab^{4/3}}{\frac1{a^{1/3}}+\frac1{b^{1/3}}}\cdot\frac1{\frac1{a^{1/3}b^{1/3}}}\right)^3\); 2) \(\frac{a^{1/3}-b^{1/3}}{\sqrt[3]{ab}}\cdot\frac{ab^{1/3}-a^{1/3}b}{\sqrt[3]a+\sqrt[3]b}\); 3) \(\frac{a^{2/3}-b^{2/3}}{a^{1/3}+b^{1/3}}\cdot\frac{a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}}{a-b}\); 4) \(\frac{a^{4/3}-b^{4/3}}{\sqrt[3]a-\sqrt[3]b}\cdot\frac{a^{4/3}-\sqrt[3]{a^2b^2}+b^{4/3}}{\sqrt[3]a+\sqrt[3]b}\).

1. В числителе первой дроби вынесем общий множитель: \(a^{4/3}b+ab^{4/3}=ab(a^{1/3}+b^{1/3})\). При делении на \(\frac1{a^{1/3}}+\frac1{b^{1/3}}=\frac{a^{1/3}+b^{1/3}}{a^{1/3}b^{1/3}}\) получаем \(a^{4/3}b^{4/3}\). Следующий множитель равен \(a^{1/3}b^{1/3}\), поэтому выражение в скобках равно \(a^{5/3}b^{5/3}\). Возводим в третью степень: \((a^{5/3}b^{5/3})^3=a^5b^5\).

2. Положим \(x=\sqrt[3]a\), \(y=\sqrt[3]b\). Тогда \(\sqrt[3]{ab}=xy\), а \(ab^{1/3}-a^{1/3}b=x^3y-xy^3=xy(x-y)(x+y)\). Сокращая множители, получаем \(\frac{x-y}{xy}\cdot\frac{xy(x-y)(x+y)}{x+y}=(x-y)^2\). Следовательно, результат: \((\sqrt[3]a-\sqrt[3]b)^2\).

3. Обозначим \(x=\sqrt[3]a\), \(y=\sqrt[3]b\). Тогда первая дробь равна \(\frac{x^2-y^2}{x+y}=x-y\). Во второй дроби числитель равен \(x^2+xy+y^2\), а \(a-b=x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\), поэтому дробь равна \(\frac1{x-y}\). Произведение равно \(1\).

4. Пусть \(x=\sqrt[3]a\), \(y=\sqrt[3]b\). Тогда первая дробь равна \(\frac{x^4-y^4}{x-y}=(x+y)(x^2+y^2)\), а вторая — \(\frac{x^4-x^2y^2+y^4}{x+y}\). После сокращения произведение равно \((x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)=x^6+y^6=a^2+b^2\).

Ответ: 1) \(a^5b^5\); 2) \((\sqrt[3]a-\sqrt[3]b)^2\); 3) \(1\); 4) \(a^2+b^2\).