115. В треугольнике ABC известно, что AC = 12 см, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найдите AB и S_{ABC}.

Найдём третий угол треугольника:

∠B = 180° − 75° − 60° = 45°.

По теореме синусов:

AB / sin 60° = AC / sin 45°.

Подставим AC = 12 см:

AB = 12 · sin 60° / sin 45° = 12 · (√3/2) / (√2/2) = 6√6 см.

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними. Сначала найдём BC по теореме синусов:

BC / sin 75° = 12 / sin 45°, поэтому BC = 12 sin 75° / sin 45°.

S_ABC = (1/2) · AC · BC · sin 60° = 72 · sin 75° · sin 60° / sin 45°.

Так как sin 75° = (√6 + √2)/4, получаем S_ABC = 18(3 + √3) см².

Ответ: AB = 6√6 см; S_ABC = 18(3 + √3) см².