115. В треугольнике ABC известно, что AC = 12 см, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найдите AB и S_ABC.

Сначала найдём третий угол треугольника:

∠B = 180° − 75° − 60° = 45°.

По теореме синусов:

\(\dfrac{AB}{\sin 60^\circ}=\dfrac{AC}{\sin 45^\circ}\), поэтому \(AB=\dfrac{12\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}=6\sqrt{6}\) см.

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:

\(S_{ABC}=\dfrac12\cdot AC\cdot AB\cdot\sin A=\dfrac12\cdot12\cdot6\sqrt6\cdot\sin75^\circ=54+18\sqrt3\) см².

Ответ: \(AB=6\sqrt6\) см; \(S_{ABC}=54+18\sqrt3\) см².