№ 115. В треугольнике ABC известно, что AC = 12 см, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найдите AB и S треугольника ABC.

Найдём третий угол: \(\angle B=180°-75°-60°=45°\).

По теореме синусов:

\(\dfrac{AB}{\sin 60°}=\dfrac{AC}{\sin 45°}\), поэтому \(AB=12\cdot\dfrac{\sin 60°}{\sin 45°}=6\sqrt{6}\) см.

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:

\(S=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin 75°=36\sqrt{6}\cdot\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}4=54+18\sqrt{3}\) см².

Ответ: \(AB=6\sqrt{6}\) см; \(S=54+18\sqrt{3}\) см².