1154. Докажите, что треугольник с вершинами A(3; 0), B(1; 5), C(2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.

Вычислим квадраты длин сторон по формуле расстояния между точками.

\(AB^2=(1-3)^2+(5-0)^2=4+25=29.\)

\(AC^2=(2-3)^2+(1-0)^2=1+1=2.\)

\(BC^2=(2-1)^2+(1-5)^2=1+16=17.\)

Наибольшая сторона — \(AB\). Проверим обратное неравенство теоремы Пифагора: \(AB^2=29>AC^2+BC^2=2+17=19\). Следовательно, угол, лежащий напротив стороны \(AB\), то есть угол \(C\), тупой.

Найдём его косинус по теореме косинусов:

\[\cos C=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{2+17-29}{2\sqrt2\sqrt{17}}=-\frac{5}{\sqrt{34}}.\]

Ответ: треугольник тупоугольный; косинус тупого угла \(C\) равен \(-\frac{5}{\sqrt{34}}\).