1155. ABC и A₁B₁C₁ — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки A, B и C отображаются в точки A₁, B₁ и C₁.

Предположим, что существуют два таких движения, f и g. Рассмотрим движение h = g⁻¹ ∘ f. Оно переводит каждую из точек A, B, C в себя, поскольку оба движения переводят их соответственно в A₁, B₁, C₁.

1. Возьмём произвольную точку X и обозначим её образ при h через X′.
2. Движение сохраняет расстояния, а точки A, B, C остаются на месте. Поэтому X′ находится на тех же расстояниях от A, B и C, что и X.
3. Треугольник ABC невырожденный. Точка на плоскости однозначно определяется расстояниями до трёх его вершин: окружности с центрами A, B и C и радиусами AX, BX и CX могут иметь не более одной общей точки. Значит, X′ = X.

Так как X произвольна, h — тождественное движение. Следовательно, g⁻¹ ∘ f тождественно и f = g. Значит, движение, переводящее вершины ABC соответственно в вершины A₁B₁C₁, может быть только одно. Если такого движения не существует, утверждение «не более одного» также выполняется.