116. Постройте развёрнутый угол POT и проведите луч OS. Чему равны углы POS и SOT, если: а) угол POS вдвое меньше угла SOT; б) угол POS на 80° больше угла SOT; в) угол SOT в 5 раз больше угла POS?

Так как угол POT развёрнутый, то \(\angle POT=180^\circ\). Луч OS делит его на два угла, поэтому \(\angle POS+\angle SOT=180^\circ\).

1. а) Пусть \(\angle POS=x\). Тогда \(\angle SOT=2x\).
   \(x+2x=180^\circ\),
   \(3x=180^\circ\),
   \(x=60^\circ\).
   Следовательно, \(\angle POS=60^\circ\), \(\angle SOT=120^\circ\).
2. б) Пусть \(\angle SOT=x\). Тогда \(\angle POS=x+80^\circ\).
   \(x+(x+80^\circ)=180^\circ\),
   \(2x=100^\circ\),
   \(x=50^\circ\).
   Следовательно, \(\angle SOT=50^\circ\), \(\angle POS=130^\circ\).
3. в) Пусть \(\angle POS=x\). Тогда \(\angle SOT=5x\).
   \(x+5x=180^\circ\),
   \(6x=180^\circ\),
   \(x=30^\circ\).
   Следовательно, \(\angle POS=30^\circ\), \(\angle SOT=150^\circ\).

Ответ: а) \(\angle POS=60^\circ\), \(\angle SOT=120^\circ\); б) \(\angle POS=130^\circ\), \(\angle SOT=50^\circ\); в) \(\angle POS=30^\circ\), \(\angle SOT=150^\circ\).