116. Решите треугольник по стороне и двум углам: 1) a = 10 см, β = 20°, γ = 85°; 2) b = 16 см, α = 40°, β = 110°.

1) Найдём третий угол:

\(\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 20^\circ - 85^\circ = 75^\circ\).

По теореме синусов:

\(\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}\).

\(b=\dfrac{a\sin\beta}{\sin\alpha}=\dfrac{10\sin20^\circ}{\sin75^\circ}\approx 3.54\text{ см}\).

\(c=\dfrac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}=\dfrac{10\sin85^\circ}{\sin75^\circ}\approx 10.31\text{ см}\).

Ответ: \(\alpha=75^\circ\), \(b\approx3.54\text{ см}\), \(c\approx10.31\text{ см}\).

2) Найдём третий угол:

\(\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 40^\circ - 110^\circ = 30^\circ\).

По теореме синусов:

\(a=\dfrac{b\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{16\sin40^\circ}{\sin110^\circ}\approx 10.95\text{ см}\).

\(c=\dfrac{b\sin\gamma}{\sin\beta}=\dfrac{16\sin30^\circ}{\sin110^\circ}\approx 8.51\text{ см}\).

Ответ: \(\gamma=30^\circ\), \(a\approx10.95\text{ см}\), \(c\approx8.51\text{ см}\).