116. Упростите: 1) $\left(\dfrac{4a^2-9a^{-2}}{2a-3a^{-1}}+\dfrac{a^2-4+3a^{-2}}{(a-a^{-1})^2}\right)^2$; 2) $\left(\dfrac{1}{(a+b)^{-2}}-\left(\dfrac{a-b}{a^3+b^3}\right)^{-1}\right)\cdot(ab)^{-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 116. Упростите: 1) $\left(\dfrac{4a^2-9a^{-2}}{2a-3a^{-1}}+\dfrac{a^2-4+3a^{-2}}{(a-a^{-1})^2}\right)^2$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим числитель первой дроби как разность квадратов:
$4a^2-9a^{-2}=(2a-3a^{-1})(2a+3a^{-1})$, поэтому первая дробь равна $2a+\dfrac{3}{a}$.
Во второй дроби числитель равен $\dfrac{(a^2-1)(a^2-3)}{a^2}$, а знаменатель — $\dfrac{(a^2-1)^2}{a^2}$. Следовательно, вторая дробь равна $\dfrac{a^2-3}{a^2-1}$.
Итак, получаем $\left(2a+\dfrac{3}{a}+\dfrac{a^2-3}{a^2-1}\right)^2$.
Используем свойства степеней с отрицательным показателем:
$\dfrac{1}{(a+b)^{-2}}=(a+b)^2$, а $\left(\dfrac{a-b}{a^3+b^3}\right)^{-1}=\dfrac{a^3+b^3}{a-b}$.
Сумма кубов раскладывается так: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$. Поэтому результат равен
$\dfrac{1}{ab}\left((a+b)^2-\dfrac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a-b}\right)$.
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
$\dfrac{(a+b)(a-b)^2-(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a-b}=-\dfrac{ab(a+b)}{a-b}$.
Умножая на $\dfrac{1}{ab}$, получаем $-\dfrac{a+b}{a-b}$.

Ответ: 1) $\left(2a+\dfrac{3}{a}+\dfrac{a^2-3}{a^2-1}\right)^2$; 2) $-\dfrac{a+b}{a-b}$.

116. Упростите: 1) \(\left(\dfrac{4a^2-9a^{-2}}{2a-3a^{-1}}+\dfrac{a^2-4+3a^{-2}}{(a-a^{-1})^2}\right)^2\); 2) \(\left(\dfrac{1}{(a+b)^{-2}}-\left(\dfrac{a-b}{a^3+b^3}\right)^{-1}\right)\cdot(ab)^{-1}\).