117.1) Упростить выражение: \(\left(\dfrac{(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})^2+(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})^2}{a+\sqrt{ab}}\right)^5\cdot\sqrt[3]{a^{10}\sqrt{a}}\).

Question

Вопрос:

Фото задания: 117.1) Упростить выражение:…

117.1) Упростить выражение: \(\left(\dfrac{(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})^2+(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})^2}{a+\sqrt{ab}}\right)^5\cdot\sqrt[3]{a^{10}\sqrt{a}}\).

Accepted Answer

Используем тождество \((p+q)^2+(p-q)^2=2p^2+2q^2\). Числитель дроби равен \(2(\sqrt{a}+\sqrt{b})\), а знаменатель раскладывается: \(a+\sqrt{ab}=\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\).

Значит, дробь равна \(\dfrac{2}{\sqrt{a}}\), и её пятая степень равна \(\dfrac{32}{a^{5/2}}\).

Кроме того, \(\sqrt[3]{a^{10}\sqrt{a}}=\sqrt[3]{a^{21/2}}=a^{7/2}\). Перемножаем степени: \(32a^{7/2-5/2}=32a\).

Ответ: \(32a\).