117. Используя правило параллелограмма, постройте векторы $\overrightarrow{OP}=\vec x+\vec y$ и $\overrightarrow{CT}=\vec y+\vec x$. Докажите, что $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{PT}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 117. Используя правило параллелограмма, постройте векторы $\overrightarrow{OP}=\vec x+\vec y$ и…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение.

Отложим от точки O векторы $\overrightarrow{OA}=\vec x$ и $\overrightarrow{OB}=\vec y$. Построим точку P так, чтобы четырёхугольник OAPB был параллелограммом. Тогда $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OB}=\vec y$, поэтому по правилу параллелограмма $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\vec x+\vec y$.
От точки C отложим векторы $\overrightarrow{CM}=\vec y$ и $\overrightarrow{CE}=\vec x$. Построим параллелограмм CMTE. Тогда $\overrightarrow{MT}=\overrightarrow{CE}=\vec x$, поэтому по правилу параллелограмма $\overrightarrow{CT}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MT}=\vec y+\vec x$.
По переместительному закону сложения векторов $\vec x+\vec y=\vec y+\vec x$. Следовательно, $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{CT}$.
Равные векторы имеют одинаковую длину и направление, значит, $OP\parallel CT$ и $OP=CT$. Поэтому четырёхугольник OPTC — параллелограмм.
В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{PT}$.

Ответ: $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{PT}$.

117. Используя правило параллелограмма, постройте векторы \(\overrightarrow{OP}=\vec x+\vec y\) и \(\overrightarrow{CT}=\vec y+\vec x\). Докажите, что \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{PT}\).