117. Упростите выражение: 1) $\left(\frac{x^2+xy}{y^2}+1\right):\frac{x^3-y^3}{y^3}+\frac{x}{y-x}$; 2) $\left(\frac{a^2+b^2}{ab}-1\right):\frac{a^3+b^3}{ab^3}-\frac{a^2}{a+b}$; 3) $\frac{(a+b)^2}{a}-\frac{a^2-b^2}{a^2+ab+b^2}\cdot\left(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^3}{a^2+ab}\right)$; 4) $\left(\frac{x^2}{x-y}-\frac{y^3}{xy-x^2}\right)\cdot\frac{x^2-y^2}{x^2-xy+y^2}-\frac{(x-y)^2}{x}$; 5) $\frac{a^3-8}{(2a-6)^2}\cdot\frac{a-3}{(a+2)^2-2a}-\frac{7-2a}{4a-12}$; 6) $\frac{b^3+27}{(3b+6)^2}:\frac{(b-3)^2+3b}{b+2}+\frac{2b+3}{9b+18}$; 7) $\left(\frac{6a+1}{a^2-6a}+\frac{6a-1}{a^2+6a}\right)\cdot\frac{a^2-36}{a^2+1}$; 8) $\left(\frac{5x+y}{x^2-5xy}+\frac{5x-y}{x^2+5xy}\right)\cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 117. Упростите выражение: 1) $\left(\frac{x^2+xy}{y^2}+1\right):\frac{x^3-y^3}{y^3}+\frac{x}{y-x}$; 2)…$ Фото задания

117. Упростите выражение: 1) $\left(\frac{x^2+xy}{y^2}+1\right):\frac{x^3-y^3}{y^3}+\frac{x}{y-x}$; 2) $\left(\frac{a^2+b^2}{ab}-1\right):\frac{a^3+b^3}{ab^3}-\frac{a^2}{a+b}$; 3) $\frac{(a+b)^2}{a}-\frac{a^2-b^2}{a^2+ab+b^2}\cdot\left(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^3}{a^2+ab}\right)$; 4) $\left(\frac{x^2}{x-y}-\frac{y^3}{xy-x^2}\right)\cdot\frac{x^2-y^2}{x^2-xy+y^2}-\frac{(x-y)^2}{x}$; 5) $\frac{a^3-8}{(2a-6)^2}\cdot\frac{a-3}{(a+2)^2-2a}-\frac{7-2a}{4a-12}$; 6) $\frac{b^3+27}{(3b+6)^2}:\frac{(b-3)^2+3b}{b+2}+\frac{2b+3}{9b+18}$; 7) $\left(\frac{6a+1}{a^2-6a}+\frac{6a-1}{a^2+6a}\right)\cdot\frac{a^2-36}{a^2+1}$; 8) $\left(\frac{5x+y}{x^2-5xy}+\frac{5x-y}{x^2+5xy}\right)\cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}$.

Accepted Answer

1) Разложим разности кубов и сократим:

$\left(\frac{x^2+xy+y^2}{y^2}\right)\cdot\frac{y^3}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}+\frac{x}{y-x}=\frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y}=-1.$

2) Первую скобку приводим к общему знаменателю, затем делим на дробь:

$\frac{(a-b)^2}{ab}\cdot\frac{ab^3}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}-\frac{a^2}{a+b}=\frac{b^2(a-b)^2-a^2(a^2-ab+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}.$

3) В скобках приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^3}{a^2+ab}=\frac{a^2-ab+b^2}{a}$. Поэтому выражение равно $\frac{(a+b)^2}{a}-\frac{(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a(a^2+ab+b^2)}$.

4) Так как $xy-x^2=-x(x-y)$, выражение в первых скобках равно $\frac{x^3+y^3}{x(x-y)}$. После сокращения с множителем $\frac{x^2-y^2}{x^2-xy+y^2}$ получаем $\frac{(x+y)^2}{x}$. Следовательно, $\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{x}=4y$.

5) Разложим на множители: $(2a-6)^2=4(a-3)^2$, $(a+2)^2-2a=a^2+2a+4$, $a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)$. После сокращения выражение равно $\frac{a-2}{4(a-3)}-\frac{7-2a}{4(a-3)}=\frac{3a-9}{4(a-3)}=\frac34$.

6) $(b-3)^2+3b=b^2-3b+9$, а $b^3+27=(b+3)(b^2-3b+9)$. Значит, выражение равно $\frac{b+3}{9(b+2)}+\frac{2b+3}{9(b+2)}=\frac{b+2}{3(b+2)}=\frac13$.

7) Складываем дроби в скобках с общим знаменателем $a(a-6)(a+6)$: числитель равен $(6a+1)(a+6)+(6a-1)(a-6)=12a^2-12$. После умножения на $\frac{a^2-36}{a^2+1}$ получаем $\frac{12(a^2-1)}{a(a^2-36)}\cdot\frac{a^2-36}{a^2+1}=\frac{12(a^2-1)}{a(a^2+1)}$.

8) В скобках общий знаменатель $x^2(x-5y)(x+5y)$; числитель равен $(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)=10x^2+10y^2$. Скобки равны $\frac{10(x^2+y^2)}{x(x^2-25y^2)}$, поэтому всё выражение равно $\frac{10}{x}$.

Ответ: 1) $-1$; 2) $\frac{b^2(a-b)^2-a^2(a^2-ab+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}$; 3) $\frac{(a+b)^2}{a}-\frac{(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a(a^2+ab+b^2)}$; 4) $4y$; 5) $\frac34$; 6) $\frac13$; 7) $\frac{12(a^2-1)}{a(a^2+1)}$; 8) $\frac{10}{x}$.