117. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠A = 30°, AC = 16 см. Точка M — середина катета BC. Найдите расстояние от точки M до гипотенузы AB.

В прямоугольном треугольнике с углом A = 30° катет BC, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы. Также \(\tan 30°=\dfrac{BC}{AC}\), поэтому \(BC=\dfrac{16}{\sqrt{3}}\) см. Следовательно, \(AB=\dfrac{32}{\sqrt{3}}\) см.

Площадь треугольника ABC равна \(S=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{128}{\sqrt{3}}\) см². Поскольку M — середина BC, треугольники ABM и ABC имеют общую высоту из A, а их основания BM и BC относятся как 1:2. Значит, \(S_{ABM}=\dfrac{64}{\sqrt{3}}\) см².

Пусть h — расстояние от M до AB. Тогда \(S_{ABM}=\dfrac{AB\cdot h}{2}\), откуда \(h=\dfrac{2S_{ABM}}{AB}=\dfrac{2\cdot64/\sqrt{3}}{32/\sqrt{3}}=4\) см.

Ответ: 4 см.