118. а) Постройте векторы \(\overrightarrow{OT}=\vec{x}+\vec{y}\) и \(\overrightarrow{PM}=\vec{y}+\vec{z}\). б) Отложите от точки \(H\) векторы \(\vec m=\overrightarrow{OT}+\vec z\) и \(\vec n=\vec x+\overrightarrow{PM}\). в) Докажите, что \(\vec m=\vec n\). Доказательство.

а) Вектор \(\overrightarrow{OT}=\vec x+\vec y\) строим по правилу параллелограмма: из точки \(O\) откладываем векторы \(\vec x\) и \(\vec y\), затем проводим диагональ параллелограмма.

Аналогично, вектор \(\overrightarrow{PM}=\vec y+\vec z\) строим как диагональ параллелограмма, построенного на векторах \(\vec y\) и \(\vec z\).

б) Из точки \(H\) последовательно откладываем \(\overrightarrow{OT}\), затем \(\vec z\). Полученный вектор равен \(\vec m\). Также из точки \(H\) последовательно откладываем \(\vec x\), затем \(\overrightarrow{PM}\). Полученный вектор равен \(\vec n\).

в) Так как \(\overrightarrow{OT}=\vec x+\vec y\), то

\(\vec m=\overrightarrow{OT}+\vec z=(\vec x+\vec y)+\vec z\).

Так как \(\overrightarrow{PM}=\vec y+\vec z\), то

\(\vec n=\vec x+\overrightarrow{PM}=\vec x+(\vec y+\vec z)\).

В соответствии с сочетательным свойством сложения векторов:

\[(\vec x+\vec y)+\vec z=\vec x+(\vec y+\vec z).\]

Следовательно, \(\vec m=\vec n\).

Ответ: \(\vec m=\vec n\).