118. Докажите, заполнив пропуски, что верно утверждение: «Сторона треугольника, лежащая против тупого угла, больше каждой из двух других сторон треугольника».

Решение:

118. Утверждение: Сторона треугольника, лежащая против тупого угла, больше каждой из двух других сторон треугольника.

Условие: ΔCEM, ∠M — тупой.

Доказательство:

Так как ∠M тупой, то ∠C и ∠E — острые.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно ∠C + ∠E + ∠M = 180°.

Поскольку ∠M > 90°, то ∠C + ∠E < 90°.

Это означает, что ∠C < ∠M и ∠E < ∠M.

По теореме о соотношении стороны и угла в треугольнике:

• Против ∠C лежит сторона EM.
• Против ∠E лежит сторона CM.
• Против ∠M лежит сторона CE.

Так как ∠C < ∠M, то против ∠C лежит сторона, меньшая против ∠M, т. е. EM < CE.

Так как ∠E < ∠M, то против ∠E лежит сторона, меньшая против ∠M, т. е. CM < CE.

Теорема: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Заключение: CE > EM и CE > CM.