118. Разгадай мышление. а) Найдите в таблице простых чисел пары среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Найдите такие пары для n, равного 87, 135 и 165. в) Не все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Приведите пример.

а) Простые числа-близнецы отличаются на 2. Перебирая простые числа до 500 и проверяя, является ли число на 2 больше также простым, получаем пары: (3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19), (29; 31), (41; 43), (59; 61), (71; 73), (101; 103), (107; 109), (137; 139), (149; 151), (179; 181), (191; 193), (197; 199), (227; 229), (239; 241), (269; 271), (281; 283), (311; 313), (347; 349), (419; 421), (431; 433), (461; 463). Всего 24 пары.

б) Подставляем значения n в выражения 6n − 1 и 6n + 1:

• при n = 87: 521 и 523 — оба числа простые;
• при n = 135: 809 и 811 — оба числа простые;
• при n = 165: 989 и 991. Число 989 делится на 23, поэтому эта пара не является парой простых чисел-близнецов.

в) Например, при k = 2 получаем 11 и 13 — простые близнецы, но при k = 4 получаем 23 и 25, а 25 — составное число. Значит, числа такого вида не всегда являются простыми близнецами.