118 Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка О — середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите ∠NOM, если ∠МОР = 105°.

Решение:

• а) Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники ΔOMN и ΔOPQ.
• MN = PQ (по условию).
• ON = OQ (так как О — середина NQ).
• ∠MNO = ∠PQO = 90° (так как MN и PQ перпендикуляры к прямой b).
2. Следовательно, ΔOMN = ΔOPQ по двум катетам (второй признак равенства прямоугольных треугольников).
3. Из равенства треугольников следует, что OM = OP.
4. Рассмотрим треугольник ΔOMP. Так как OM = OP, то треугольник ΔOMP — равнобедренный.
5. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠OMP = ∠OPM.
• б) Нахождение ∠NOM:
1. Рассмотрим треугольники ΔOMN и ΔOPQ.
• MN = PQ (по условию).
• ON = OQ (так как О — середина NQ).
• ∠MNO = ∠PQO = 90° (так как MN и PQ перпендикуляры к прямой b).
2. Следовательно, ΔOMN = ΔOPQ по двум катетам (второй признак равенства прямоугольных треугольников).
3. Из равенства треугольников следует, что ∠MON = ∠POQ.
4. Из условия задачи известно, что ∠MOP = 105°.
5. Углы ∠MON, ∠MOP и ∠POQ составляют развернутый угол ∠NOQ = 180°.
6. Пусть ∠MON = ∠POQ = x.
7. Тогда x + 105° + x = 180°.
8. 2x = 180° - 105°.
9. 2x = 75°.
10. x = 75° / 2 = 37.5°.
11. Следовательно, ∠NOM = 37.5°.

Ответ: а) Доказано; б) 37.5°