119. Решите треугольник по двум сторонам и углу между ними: 1) a = 8 см, c = 6 см, β = 15°; 2) b = 7 см, c = 5 см, α = 145°.

1) Дано: \(a=8\) см, \(c=6\) см, \(\beta=15^\circ\).

По теореме косинусов найдём сторону \(b\):

\[b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta=8^2+6^2-2\cdot8\cdot6\cos15^\circ.\]

\[b\approx\sqrt{7.27}\approx2.70\text{ см}.\]

По теореме синусов:

\[\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta},\qquad \sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b}.\]

\[\alpha\approx129.9^\circ.\]

Тогда

\[\gamma=180^\circ-\alpha-\beta\approx180^\circ-129.9^\circ-15^\circ=35.1^\circ.\]

2) Дано: \(b=7\) см, \(c=5\) см, \(\alpha=145^\circ\).

По теореме косинусов найдём сторону \(a\):

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha=7^2+5^2-2\cdot7\cdot5\cos145^\circ.\]

\[a\approx\sqrt{130.68}\approx11.43\text{ см}.\]

По теореме синусов:

\[\sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a}=\frac{7\sin145^\circ}{11.43},\qquad \beta\approx20.6^\circ.\]

Тогда

\[\gamma=180^\circ-\alpha-\beta\approx180^\circ-145^\circ-20.6^\circ=14.4^\circ.\]

Ответ: 1) \(b\approx2.70\) см, \(\alpha\approx129.9^\circ\), \(\gamma\approx35.1^\circ\); 2) \(a\approx11.43\) см, \(\beta\approx20.6^\circ\), \(\gamma\approx14.4^\circ\).