119. Точка M — середина стороны BC прямоугольника ABCD, MA ⟂ MD, периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника: AB = CD = a, BC = AD = b.

Так как M — середина стороны BC, то BM = MC = b/2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM: \(AM^2=a^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2\).

Аналогично для треугольника ADM: \(DM^2=a^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2\). Условие \(MA\perp MD\) означает, что треугольник AMD прямоугольный, а его катеты связаны с диагональю прямоугольника. Из условия перпендикулярности в координатной форме получаем:

\(a^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2=0\), поэтому \(a=\frac{b}{2}\), то есть \(b=2a\).

По условию периметра:

\(2(a+b)=36\),
\(a+b=18\).

Подставим \(b=2a\):

\(a+2a=18\),
\(3a=18\),
\(a=6\) см.

Тогда \(b=2\cdot6=12\) см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 12 см.