1198. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение: a) 27 ⋅ 3⁻⁴; б) (3⁻¹)⁵ ⋅ 81²; в) 9⁻² : 3⁻⁶; г) 81³ : (9⁻²)⁻³.

Решение:

Для решения применим свойства степеней:

• a) 27 ⋅ 3⁻⁴
  Разложим 27 как степень тройки: \( 27 = 3^3 \).
  Тогда выражение станет: \( 3^3 \cdot 3^{-4} \).
  При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( 3^{3+(-4)} = 3^{-1} \).
• б) (3⁻¹)⁵ ⋅ 81²
  Возведём степень в степень: \( (3^{-1})^5 = 3^{-1 \cdot 5} = 3^{-5} \).
  Представим 81 как степень тройки: \( 81 = 3^4 \), тогда \( 81^2 = (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8 \).
  Теперь перемножим полученные степени: \( 3^{-5} \cdot 3^8 = 3^{-5+8} = 3^3 \).
• в) 9⁻² : 3⁻⁶
  Представим 9 как степень тройки: \( 9 = 3^2 \), тогда \( 9^{-2} = (3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4} \).
  Теперь выполним деление: \( 3^{-4} : 3^{-6} \).
  При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( 3^{-4 - (-6)} = 3^{-4+6} = 3^2 \).
• г) 81³ : (9⁻²)⁻³
  Представим 81 как степень тройки: \( 81 = 3^4 \), тогда \( 81^3 = (3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12} \).
  Представим 9 как степень тройки: \( 9 = 3^2 \), тогда \( (9^{-2})^{-3} = ((3^2)^{-2})^{-3} \).
  Возведём степень в степень: \( (3^{-4})^{-3} = 3^{-4 \cdot (-3)} = 3^{12} \).
  Теперь выполним деление: \( 3^{12} : 3^{12} = 3^{12-12} = 3^0 \).

Ответ: а) 3⁻¹; б) 3³; в) 3²; г) 3⁰.