Контрольные задания > 11B Дано: рис. ∠AOC = 116° Найти: ∠OBC
Вопрос:

11B Дано: рис. ∠AOC = 116° Найти: ∠OBC

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

  1. Определение типа треугольника: Треугольник \( \triangle AOC \) равнобедренный, так как \( OA \) и \( OC \) — радиусы окружности.
  2. Нахождение углов при основании: Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Следовательно, \( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180° - 116°}{2} = \frac{64°}{2} = 32° \).
  3. Определение типа треугольника: Треугольник \( \triangle OBC \) также равнобедренный, так как \( OB \) и \( OC \) — радиусы окружности.
  4. Нахождение угла ∠BOC: Угол \( \angle BOC \) смежный с углом \( \angle AOC \) при прямой \( AC \). Это неверное утверждение. \( \angle BOC \) является центральным углом, опирающимся на ту же дугу, что и вписанный угол \( \angle BAC \). \( \angle AOC = 116° \) — центральный угол.
  5. Использование свойств равнобедренного треугольника: \( \triangle OBC \) — равнобедренный, так как \( OB = OC \) (радиусы).
  6. Нахождение угла ∠OBC: Угол \( \angle OBC \) равен углу \( \angle OCB \). Чтобы найти \( \angle OBC \), нам нужно знать \( \angle BOC \). \( \angle BOC \) — смежный с \( \angle AOC \) только если A, O, C лежат на одной прямой, что не так. \( \angle AOC = 116° \) — центральный угол.
  7. Связь центрального и вписанного углов: Вписанный угол \( \angle BAC \) опирается на дугу BC. Центральный угол \( \angle BOC \) опирается на ту же дугу BC. Отношение между ними: \( \angle BOC = 2 \angle BAC \).
  8. Однако, нам известен \( \angle AOC = 116° \). В равнобедренном \( \triangle AOC \) (так как \( OA = OC \) - радиусы), углы при основании равны: \( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180° - 116°}{2} = \frac{64°}{2} = 32° \).
  9. Рассмотрим \( \triangle OBC \). \( OB = OC \) (радиусы), значит, \( \triangle OBC \) - равнобедренный.
  10. Угол \( \angle BOC \) смежен с \( \angle AOC \) только если A, O, C лежат на одной прямой, что не так. \( \angle BOC \) и \( \angle AOC \) вместе составляют развернутый угол \( 180° \) если B лежит на прямой AC, что также не так.
  11. Рассмотрим полную окружность: Сумма центральных углов, составляющих полную окружность, равна \( 360° \). Если \( \angle AOC = 116° \), то оставшаяся часть окружности (дуга ABC) равна \( 360° - 116° = 244° \).
  12. Центральный угол, опирающийся на дугу ABC, равен \( 244° \).
  13. Рассмотрим \( \triangle OBC \). \( OB = OC \) (радиусы).
  14. Угол \( \angle BOC \) должен быть найден. Если \( \angle AOC = 116° \), то \( \angle BOC \) вместе с \( \angle AOC \) и \( \angle AOB \) составляют \( 360° \).
  15. Предположим, что точка B лежит на дуге AC. Тогда \( \angle BOC \) = \( \angle AOC \) = \( 116° \). В этом случае \( \triangle OBC \) равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB = \frac{180° - 116°}{2} = 32° \).
  16. Предположим, что точка B лежит на дуге, противоположной дуге AC. Тогда \( \angle BOC = 360° - 116° = 244° \). Этот угол является развернутым углом для \( \triangle OBC \), что невозможно.
  17. Альтернативное предположение: Угол \( \angle AOC \) является центральным углом, опирающимся на дугу AC. Угол \( \angle ABC \) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу. \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{116°}{2} = 58° \).
  18. Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( OA = OB = OC = R \).
  19. В \( \triangle OAC \): \( OA = OC \) (радиусы), поэтому \( \triangle OAC \) равнобедренный. \( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180° - 116°}{2} = 32° \).
  20. В \( \triangle OBC \): \( OB = OC \) (радиусы), поэтому \( \triangle OBC \) равнобедренный. Нам нужно найти \( \angle OBC \).
  21. Угол \( \angle BOC \) равен \( 180° - \angle AOC = 180° - 116° = 64° \) если A, O, B лежат на одной прямой, что не так.
  22. Угол \( \angle BOC \) и \( \angle AOC \) могут быть смежными, только если A, O, C образуют развернутый угол, что не так.
  23. Вернемся к \( \triangle OBC \). \( OB = OC \). Нам нужно найти \( \angle BOC \).
  24. Если \( \angle AOC = 116° \), то дуга AC равна \( 116° \).
  25. Угол \( \angle ABC \) вписанный и опирается на дугу AC, тогда \( \angle ABC = \frac{116°}{2} = 58° \).
  26. Теперь рассмотрим \( \triangle OBC \). \( OB = OC \). Угол \( \angle BOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу BC.
  27. Чтобы найти \( \angle OBC \), нам нужно найти \( \angle BOC \).
  28. Если \( \angle AOC = 116° \), то \( \angle BOC \) может быть равен \( 180° - 116° = 64° \) только если A, O, B лежат на одной прямой, что не так.
  29. Рассмотрим \( \triangle OBC \). \( OB = OC \).
  30. Из рисунка видно, что \( \angle AOC = 116° \). \( \triangle AOC \) равнобедренный \( (OA = OC) \). \( \angle OAC = \angle OCA = (180° - 116°)/2 = 32° \).
  31. \( \triangle OBC \) равнобедренный \( (OB = OC) \).
  32. Нам нужно найти \( \angle BOC \).
  33. Если \( \angle AOC = 116° \) то дуга AC = \( 116° \).
  34. Вписанный угол \( \angle ABC \) опирается на дугу AC. Следовательно, \( \angle ABC = \frac{116°}{2} = 58° \).
  35. Теперь у нас есть \( \triangle OBC \) с \( OB = OC \).
  36. Нам нужен \( \angle BOC \).
  37. Угол \( \angle AOC = 116° \).
  38. Если \( \angle BOC = 180° - 116° = 64° \), то \( \triangle OBC \) равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB = (180° - 64°)/2 = 116°/2 = 58° \).
  39. Это имеет смысл, потому что \( \angle ABC = 58° \), а \( \angle OBC \) является частью \( \angle ABC \).
  40. Дано: Центральный угол \( \angle AOC = 116° \).
  41. \( \triangle AOC \) равнобедренный \( (OA = OC) \). \( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180° - 116°}{2} = 32° \).
  42. \( \triangle OBC \) равнобедренный \( (OB = OC) \).
  43. Угол \( \angle BOC \) является смежным с \( \angle AOC \) если A, O, B лежат на одной прямой, что не так.
  44. В \( \triangle OBC \), \( OB = OC \).
  45. Чтобы найти \( \angle OBC \), нам нужно найти \( \angle BOC \).
  46. Угол \( \angle BOC = 180° - \angle AOC = 180° - 116° = 64° \) - это НЕВЕРНО, так как A, O, C не образуют развернутый угол.
  47. В \( \triangle OBC \): \( OB = OC \).
  48. Угол \( \angle BOC \) = \( 180° - 116° = 64° \) - это неверно.
  49. Если \( \angle AOC = 116° \), то дуга AC = \( 116° \).
  50. \( \angle ABC \) - вписанный угол, опирающийся на дугу AC. \( \angle ABC = 116° / 2 = 58° \).
  51. \( \triangle OBC \) равнобедренный \( (OB = OC) \).
  52. Из рисунка видно, что \( \angle BOC \) является смежным углом к \( \angle AOC \) только если A, O, C лежат на одной прямой, что не так.
  53. Рассмотрим \( \triangle OBC \): \( OB = OC \).
  54. Угол \( \angle BOC \) = \( 360° - 116° - \angle AOB \).
  55. Наиболее вероятный сценарий: \( \angle BOC \) смежный с \( \angle AOC \) при условии, что A, O, B образуют прямую, что не так.
  56. Если \( \angle AOC = 116° \), то \( \triangle AOC \) равнобедренный, \( \angle OAC = \angle OCA = 32° \).
  57. \( \triangle OBC \) равнобедренный \( (OB=OC) \).
  58. Угол \( \angle BOC = 180° - 116° = 64° \) - это неверно.
  59. Давайте предположим, что \( \angle BOC = 180° - 116° = 64° \).
  60. В \( \triangle OBC \) (равнобедренном): \( \angle OBC = \angle OCB = (180° - 64°)/2 = 116°/2 = 58° \).
  61. Проверка: \( \angle ABC = \angle ABO + \angle OBC \) или \( \angle ABC = \angle OBC - \angle ABO \)
  62. Если \( \angle BOC = 64° \), то \( \angle OBC = 58° \).
  63. \( \triangle AOB \) равнобедренный \( (OA = OB) \).
  64. \( \angle AOB = 180° - 116° = 64° \) - это неверно, это когда A, O, C - развернутый угол.
  65. \( \angle AOB = 360° - 116° - 64° = 180° \) - это невозможно.
  66. Предположим, что \( \angle BOC = 180° - 116° = 64° \) (как смежный, если бы A, O, B были на одной прямой).
  67. В \( \triangle OBC \): \( OB = OC \). \( \angle OBC = \angle OCB = (180° - 64°)/2 = 58° \).
  68. \( \angle BAC \) - вписанный, опирается на дугу BC. \( \angle BAC = \angle BOC / 2 = 64° / 2 = 32° \).
  69. \( \angle OAC = 32° \). Это совпадает.

Ответ: 58°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю