12.1 Постройте график заданной функции. Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки: y = 1 − (x + 5)/(x² + 5x).

Область определения: знаменатель не равен нулю, поэтому x ≠ 0 и x ≠ −5.

При этих ограничениях сокращаем дробь: \(y=1-\dfrac{x+5}{x(x+5)}=1-\dfrac{1}{x}\). Значение x = −5 исключено, поэтому на графике будет выколотая точка с ординатой \(1-\dfrac{1}{-5}=\dfrac{6}{5}\).

График функции (выколотая точка отмечена пустым кружком):

Горизонтальная прямая y = m пересекает график, если m принадлежит множеству значений функции. Из равенства \(y=1-\dfrac{1}{x}\) следует, что y ≠ 1. Кроме того, значение \(y=\dfrac{6}{5}\) достигается только при x = −5, который не входит в область определения.

Ответ: m = 1 или m = 6/5.