12.22. Решите систему уравнений: a) { 5x - 3 + 9y / 3 = 2x + 3y - 2 / 2; 2x - 3y / 3 = 2 b) { x + 3 - 5y / 2 = 3x - 4y + 3 / 3; 6 + 3x - y / 3 = 12x - y / 4 б) { x + y / 3 = 6; 2x - y + 2y / 9 = 3 г) { x + y / 8 + x - y / 6 = 5; x + y / 4 + x - y / 5 = 10

Решение:

а)

1. Упрощаем первое уравнение:
• (5x - 3 + 9y) / 3 = (2x + 3y - 2) / 2
• 2(5x - 3 + 9y) = 3(2x + 3y - 2)
• 10x - 6 + 18y = 6x + 9y - 6
• 10x + 18y - 6x - 9y = -6 + 6
• 4x + 9y = 0
2. Упрощаем второе уравнение:
• (2x - 3y) / 3 = 2
• 2x - 3y = 6
3. Решаем полученную систему:
• \[ \begin{cases} 4x + 9y = 0 \\ 2x - 3y = 6 \end{cases} \]
• Умножаем второе уравнение на 3:
• \[ \begin{cases} 4x + 9y = 0 \\ 6x - 9y = 18 \end{cases} \]
• Складываем уравнения:
• (4x + 9y) + (6x - 9y) = 0 + 18
• 10x = 18
• x = 1.8
• Подставляем x в первое уравнение:
• 4(1.8) + 9y = 0
• 7.2 + 9y = 0
• 9y = -7.2
• y = -0.8

б)

1. Упрощаем первое уравнение:
• (x + y) / 3 = 6
• x + y = 18
2. Упрощаем второе уравнение:
• (2x - y + 2y) / 9 = 3
• (2x + y) / 9 = 3
• 2x + y = 27
3. Решаем полученную систему:
• \[ \begin{cases} x + y = 18 \\ 2x + y = 27 \end{cases} \]
• Вычитаем первое уравнение из второго:
• (2x + y) - (x + y) = 27 - 18
• x = 9
• Подставляем x в первое уравнение:
• 9 + y = 18
• y = 9

в)

1. Упрощаем первое уравнение:
• (x + 3 - 5y) / 2 = (3x - 4y + 3) / 3
• 3(x + 3 - 5y) = 2(3x - 4y + 3)
• 3x + 9 - 15y = 6x - 8y + 6
• 3x - 6x - 15y + 8y = 6 - 9
• -3x - 7y = -3
• 3x + 7y = 3
2. Упрощаем второе уравнение:
• (6 + 3x - y) / 3 = (12x - y) / 4
• 4(6 + 3x - y) = 3(12x - y)
• 24 + 12x - 4y = 36x - 3y
• 12x - 36x - 4y + 3y = -24
• -24x - y = -24
• 24x + y = 24
3. Решаем полученную систему:
• \[ \begin{cases} 3x + 7y = 3 \\ 24x + y = 24 \end{cases} \]
• Из второго уравнения выражаем y:
• y = 24 - 24x
• Подставляем в первое уравнение:
• 3x + 7(24 - 24x) = 3
• 3x + 168 - 168x = 3
• -165x = 3 - 168
• -165x = -165
• x = 1
• Подставляем x во второе уравнение:
• 24(1) + y = 24
• 24 + y = 24
• y = 0

г)

1. Упрощаем первое уравнение:
• (x + y) / 8 + (x - y) / 6 = 5
• Приводим к общему знаменателю 24:
• 3(x + y) + 4(x - y) = 5 * 24
• 3x + 3y + 4x - 4y = 120
• 7x - y = 120
2. Упрощаем второе уравнение:
• (x + y) / 4 + (x - y) / 5 = 10
• Приводим к общему знаменателю 20:
• 5(x + y) + 4(x - y) = 10 * 20
• 5x + 5y + 4x - 4y = 200
• 9x + y = 200
3. Решаем полученную систему:
• \[ \begin{cases} 7x - y = 120 \\ 9x + y = 200 \end{cases} \]
• Складываем уравнения:
• (7x - y) + (9x + y) = 120 + 200
• 16x = 320
• x = 20
• Подставляем x в первое уравнение:
• 7(20) - y = 120
• 140 - y = 120
• y = 140 - 120
• y = 20

Ответ:

а) x = 1.8, y = -0.8

б) x = 9, y = 9

в) x = 1, y = 0

г) x = 20, y = 20