12.22. Решите уравнение: 1) |x − 2| + |x − 4| = 3; 2) |x − 2| − 3|3 − x| + x = 0; 3) |4 − x| + |2x − 2| = 5 − 2x; 4) |x| − 2|x + 1| = 5; 5) |x| + |3x + 2| + |2x − 1| = 5; 6) |x| + |x − 6| = 6; 7) |x + 2| − |x − 3| = 5; 8) |5x − 2| − |7x − 3| + 2x = 1; 9) |x − 2|/(|x − 1| − 1) = 1; 10) (|x − 3| + |x − 1| − 2)/(|x − 1| − |x| + 1) = 1.

Question

Вопрос:

Фото задания: 12.22. Решите уравнение: 1) |x − 2| + |x − 4| = 3; 2) |x − 2| − 3|3 − x| + x = 0; 3) |4 − x| + |2x − 2| = 5 − 2x; 4) |x| −…

12.22. Решите уравнение: 1) |x − 2| + |x − 4| = 3; 2) |x − 2| − 3|3 − x| + x = 0; 3) |4 − x| + |2x − 2| = 5 − 2x; 4) |x| − 2|x + 1| = 5; 5) |x| + |3x + 2| + |2x − 1| = 5; 6) |x| + |x − 6| = 6; 7) |x + 2| − |x − 3| = 5; 8) |5x − 2| − |7x − 3| + 2x = 1; 9) |x − 2|/(|x − 1| − 1) = 1; 10) (|x − 3| + |x − 1| − 2)/(|x − 1| − |x| + 1) = 1.

Accepted Answer

Знаки выражений под модулями меняются в точках, где эти выражения равны нулю. Рассматриваем соответствующие промежутки и проверяем полученные корни.

На отрезке от 2 до 4 сумма модулей равна 2. Вне отрезка она равна расстоянию до отрезка плюс 2, поэтому уравнение даёт x = 1.5 или x = 4.5.
На промежутках, разделённых точками 2 и 3, получаем кандидаты x = 7/3, x = 11/5 и x = 7. Первые два не принадлежат соответствующим промежуткам, поэтому остаётся x = 7.
Разбиваем числовую прямую точками 1 и 4. Уравнение выполняется при x = 1; кандидаты с других промежутков им не принадлежат.
На промежутках, разделённых точками −1 и 0, возможные корни не принадлежат соответствующим промежуткам. Решений нет.
Точки смены знака: −2/3 и 1/2. На промежутках получаем кандидаты x = −1, x = −3/2 и x = 2/3. Средний кандидат не подходит своему промежутку; остаются −1 и 2/3.
Для 0 ≤ x ≤ 6 сумма модулей равна 6. Вне этого отрезка сумма больше 6. Следовательно, подходят все числа от 0 до 6 включительно.
При x ≥ 3 разность модулей равна 5, а на остальных промежутках уравнение не даёт решений. Ответ: все x ≥ 3.
Точки смены знака — 3/7 и 2/5. На промежутке x ≥ 2/5 левая часть равна 1; кандидат с промежутка x < 3/7 ему не принадлежит. Ответ: все x ≥ 2/5.
Знаменатель обращается в ноль при x = 2, поэтому это значение исключаем. При x > 2 числитель равен знаменателю. На остальных допустимых промежутках равенство не выполняется.
Знаменатель равен 2 при x < 0, равен 2 − 2x при 0 ≤ x < 1 и равен нулю при x ≥ 1; последние значения исключаются. На первом промежутке получаем x = −1, а при 0 ≤ x < 1 числитель равен знаменателю.

Ответ: 1) 1.5; 4.5. 2) 7. 3) 1. 4) решений нет. 5) −1; 2/3. 6) [0; 6]. 7) [3; +∞). 8) [2/5; +∞). 9) (2; +∞). 10) {−1} ∪ [0; 1).