12.6 Постройте график заданной функции. Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки: y = 3 − (x + 5)/(x² + 5x).

Область определения: знаменатель не равен нулю, поэтому x ≠ 0 и x ≠ −5.

При этих ограничениях сокращаем дробь: \(y=3-\dfrac{x+5}{x(x+5)}=3-\dfrac{1}{x}\). При x = −5 получилось бы значение \(3-\dfrac{1}{-5}=\dfrac{16}{5}\), но эта точка исключена, поэтому на графике будет выколотая точка.

График функции (выколотая точка отмечена пустым кружком):

Из равенства \(y=3-\dfrac{1}{x}\) следует, что y ≠ 3. Значение \(y=\dfrac{16}{5}\) достигается только при x = −5, который не входит в область определения. Все прочие значения y достигаются.

Ответ: m = 3 или m = 16/5.