12. ABCD — четырёхугольник. На диагоналях AC и BD отмечено, что AO = OC и BO = OD; CD = 10, ∠BAC = 42°, ∠BDC = 48°. Найдите BC и отмеченный угол при O.

Так как диагонали четырёхугольника делятся точкой O пополам, ABCD — параллелограмм. Следовательно, AB ∥ CD.

Угол между AB и AC равен 42°, поэтому угол между CD и CA тоже равен 42°. В треугольнике COD углы при C и D равны 42° и 48°, следовательно, ∠COD = 180° − 42° − 48° = 90°.

Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны и делятся пополам. Значит, его диагонали являются перпендикулярными серединными отрезками; все стороны параллелограмма равны. Поэтому BC = CD = 10.

Отмеченный угол при O — угол между диагоналями, он равен 90°.

Ответ: BC = 10; отмеченный угол равен 90°.