12.) Акмаль, Батыр, Собир и Даврон хотят сфотографироваться в ряд. Акмаль не хочет стоять рядом с Собиром, а Даврон соглашается сфотографироваться, только если он будет стоять рядом с Акмалем. Сколькими способами их можно расположить так, чтобы эти условия были выполнены?

Решение:

Обозначим людей буквами: А - Акмаль, Б - Батыр, С - Собир, Д - Даврон.

Условия:

• Акмаль (А) не хочет стоять рядом с Собиром (С).
• Даврон (Д) хочет стоять рядом с Акмалем (А).

Рассмотрим условие, что Даврон (Д) хочет стоять рядом с Акмалем (А). Это означает, что они будут занимать соседние места. Возможны два варианта их расположения: 'ДА' или 'АД'.

Теперь учтем, что Акмаль (А) не хочет стоять рядом с Собиром (С).

1. Рассмотрим блок 'ДА':
• Если блок 'ДА' находится в начале ряда: 'ДА' Б С. Здесь С не рядом с А. Возможные перестановки: ДАБС, ДАСБ. (2 варианта)
• Если блок 'ДА' в середине ряда: Б 'ДА' С. Здесь С не рядом с А. Возможные перестановки: БДАС. (1 вариант)
• Если блок 'ДА' в конце ряда: Б С 'ДА'. Здесь С не рядом с А. Возможные перестановки: БСДА. (1 вариант)
• Рассмотрим случай, когда 'ДА' находится между Б и С: Б 'ДА' С - уже учтено.
• Рассмотрим случай, когда 'ДА' находится между С и Б: С 'ДА' Б. Здесь С рядом с А, что недопустимо.
• Рассмотрим случаи, когда А и Д стоят вместе, но А не рядом с С:
• Рассмотрим блоки (АД) и (С). Остальные - Б.
• Возможные расположения: (АД) Б С, Б (АД) С, Б С (АД).
• В случае (АД) Б С: А не рядом с С. 2! = 2 варианта (перестановки АД и С). (АД)БС, (АД)СБ.
• В случае Б (АД) С: А не рядом с С. 2! = 2 варианта. Б(АД)С, С(АД)Б.
• В случае Б С (АД): А не рядом с С. 2! = 2 варианта. БС(АД), СБ(АД).
• Теперь учтем, что А не должен быть рядом с С.
• Рассмотрим все возможные перестановки 4 человек: 4! = 24.
• Вычтем случаи, когда А рядом с С:
• Если А и С рядом (АС или СА).
• Пусть АС - один блок. Переставляем (АС), Д, Б: 3! = 6.
• Пусть СА - один блок. Переставляем (СА), Д, Б: 3! = 6.
• Итого 12 случаев, когда А и С рядом.
• Но нам нужно учесть, что Д рядом с А.
• Рассмотрим случаи, когда Д рядом с А: 'ДА' или 'АД'.
• Случаи с 'ДА': (ДА) Б С, Б (ДА) С, Б С (ДА).
• При этом А не рядом с С.
• (ДА) Б С: А не рядом с С. 2! = 2 варианта: ДАБС, ДАСБ.
• Б (ДА) С: А не рядом с С. 2! = 2 варианта: БДАС, СБДА (здесь С рядом с А, недопустимо). БДАС, БСДА (здесь С рядом с А, недопустимо).
• Если (ДА) - блок: (ДА) Б С, (ДА) С Б, Б (ДА) С, С (ДА) Б, Б С (ДА), С Б (ДА).
• В (ДА) Б С: А не рядом с С. 2! = 2 варианта.
• В Б (ДА) С: А не рядом с С. 2! = 2 варианта.
• В Б С (ДА): А не рядом с С. 2! = 2 варианта.
• Случаи, когда Д рядом с А ('ДА' или 'АД').
• Рассмотрим случай 'АД'.
• (АД) Б С: А не рядом с С. 2! = 2 варианта: АДБС, АДCБ.
• Б (АД) С: А не рядом с С. 2! = 2 варианта: БАДС, СБАД.
• Б С (АД): А не рядом с С. 2! = 2 варианта: БСАД, СБАД.
• Рассмотрим случай, когда Акмаль и Собир стоят вместе (АС или СА).
• Случаи: АСДБ, АСБД, ДАСБ, САСБ, СВАД, САБД.
• Итого 6 случаев, когда А и С рядом, и Д рядом с А.
• Даврон (Д) должен быть рядом с Акмалем (А). Это пара 'АД' или 'ДА'.
• Акмаль (А) не должен быть рядом с Собиром (С).
• Пусть 'АД' - единый блок. Рассматриваем перестановки (АД), Б, С.
• Варианты: (АД) Б С, (АД) С Б, Б (АД) С, С (АД) Б, Б С (АД), С Б (АД).
• Исключаем случаи, когда А рядом с С. В данном случае А - первый в блоке 'АД', поэтому он не будет рядом с С, если С не стоит сразу после АД.
• (АД) Б С - допустимо.
• (АД) С Б - недопустимо (С рядом с А).
• Б (АД) С - допустимо.
• С (АД) Б - недопустимо (С рядом с А).
• Б С (АД) - допустимо.
• С Б (АД) - допустимо.
• Итак, для блока 'АД' имеем 4 допустимых расположения: АДБС, БАДС, БСАД, СБАД.
• Теперь рассмотрим блок 'ДА'.
• (ДА) Б С, (ДА) С Б, Б (ДА) С, С (ДА) Б, Б С (ДА), С Б (ДА).
• Исключаем случаи, когда А рядом с С. В данном случае А - второй в блоке 'ДА'.
• (ДА) Б С - допустимо.
• (ДА) С Б - недопустимо (С рядом с А).
• Б (ДА) С - недопустимо (С рядом с А).
• С (ДА) Б - допустимо.
• Б С (ДА) - допустимо.
• С Б (ДА) - допустимо.
• Итак, для блока 'ДА' имеем 4 допустимых расположения: ДАБС, СДАБ, БСДА, СБДА.
• Всего: 4 + 4 = 8 способов.

Финальный ответ:

Ответ: 8