12. Через вершину B прямоугольника ABCD проведён перпендикуляр MB к плоскости прямоугольника. Определите вид треугольника AMD и найдите его площадь, если стороны прямоугольника AB = 3 и AD = 8, а BM = 4.

Поскольку \(MB\perp(ABCD)\), отрезок MB перпендикулярен любой прямой плоскости прямоугольника, проходящей через точку B.

1. В прямоугольном треугольнике ABM: \(AM^2=AB^2+BM^2=3^2+4^2=25\), поэтому \(AM=5\).
2. Диагональ прямоугольника: \(BD^2=AB^2+AD^2=3^2+8^2=73\).
3. В треугольнике DBM: \(DM^2=BD^2+BM^2=73+16=89\).
4. Проверим теорему Пифагора для треугольника AMD: \(AM^2+AD^2=5^2+8^2=25+64=89=DM^2\). Значит, треугольник AMD прямоугольный, его прямой угол находится при вершине A.
5. Площадь: \(S_{AMD}=\dfrac12\cdot AM\cdot AD=\dfrac12\cdot5\cdot8=20\).

Ответ: треугольник AMD прямоугольный (\(\angle MAD=90^\circ\)); \(S_{AMD}=20\) кв. ед.