12. Через вершину B в прямоугольнике ABCD проведён перпендикуляр MB к плоскости прямоугольника. Определите вид ΔAMD и найдите его площадь, если стороны прямоугольника AB = 3 и AD = 8, а BM = 4.

Так как \(MB \perp\) плоскости прямоугольника, то \(MB \perp AB\). Поэтому треугольник ABM прямоугольный:

\(AM^2 = AB^2 + BM^2 = 3^2 + 4^2 = 25\),

\(AM = 5\).

В прямоугольнике \(AB \perp AD\), а перпендикуляр \(MB\) также перпендикулярен прямой \(AD\). Следовательно, прямая \(AD\) перпендикулярна плоскости ABM и, в частности, \(AD \perp AM\).

Значит, треугольник AMD — прямоугольный, прямой угол находится при вершине A.

Площадь треугольника:

\(S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 = 20\) см².

Ответ: ΔAMD — прямоугольный, \(\angle A = 90^\circ\); \(S_{AMD} = 20\) см².