12. Дана треугольная пирамида SABC с вершиной S. В основании которой лежит правильный треугольник ABC. Отрезки AM, BN и CP являются медианами, точка O — точка пересечения медиан. Отрезок SA перпендикулярен плоскости основания. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых.

Question

Вопрос:

Фото задания

12. Дана треугольная пирамида SABC с вершиной S. В основании которой лежит правильный треугольник ABC. Отрезки AM, BN и CP являются медианами, точка O — точка пересечения медиан. Отрезок SA перпендикулярен плоскости основания. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых.

Accepted Answer

Решение:

Дано:

Пирамида SABC.
Основание ABC — правильный треугольник.
S — вершина.
SA ⊥ плоскости ABC.
AM, BN, CP — медианы.
O — точка пересечения медиан (центроид).

Необходимо найти: пары перпендикулярных прямых.

Разбор условий перпендикулярности:

Прямая и плоскость: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
Две прямые в пространстве: Две прямые перпендикулярны, если угол между ними равен 90 градусов.

Анализ вариантов:

SA ⊥ плоскости ABC.
Так как SA перпендикулярна плоскости основания, то SA перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку A.
В треугольнике ABC: AM — медиана, биссектриса и высота (так как треугольник правильный). Следовательно, AM ⊥ BC.
BN и CP — медианы.

Проверим предложенные пары:

SM и OC: SM — это медиана в треугольнике SBC. OC лежит в плоскости основания. Прямая SM не является перпендикулярной прямой OC.
SA и SC: SA перпендикулярно плоскости ABC, но SC — это наклонная. SA не перпендикулярно SC.
SM и BC: AM ⊥ BC. SM является медианой в треугольнике SBC. SM не перпендикулярно BC.
NB и CP: BN и CP — медианы. В правильном треугольнике медианы не перпендикулярны друг другу.
SA и CM: SA перпендикулярно плоскости ABC. CM — это часть медианы CP. CM лежит в плоскости основания. Так как SA перпендикулярно любой прямой в плоскости основания, проходящей через A, то SA будет перпендикулярно CM, если CM проходит через A. Однако CM — это часть медианы CP, которая начинается от вершины C. Если предположить, что M — середина AB, то CM не проходит через A. Отрезок CM является частью медианы CP. Важно: SA перпендикулярно плоскости ABC. Любая прямая, лежащая в плоскости ABC и проходящая через точку A, перпендикулярна SA. CM — это отрезок, который является медианой в треугольнике ABC, а именно, медиана CP. Точка M является серединой стороны AB. Отрезок CM не является медианой. CP — медиана. Если бы речь шла о медиане AM, то SA ⊥ AM. Давайте пересмотрим условие. CP — медиана, P — середина AB. CM — нет такой прямой. Если M — середина AB, то CM — это отрезок, соединяющий вершину C с серединой AB. Это и есть медиана CP. Следовательно, SA ⊥ CP. Поэтому SA ⊥ CM (если CM — это медиана CP).

Уточнение:

В правильном треугольнике ABC медианы AM, BN, CP проведены из вершин к серединам противоположных сторон. Точка O — точка пересечения медиан. SA перпендикулярно плоскости ABC.

По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения.

SA ⊥ плоскости ABC. Это значит, что SA перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC.

Рассмотрим отрезок CM. Если M — середина стороны AB, то CM является медианой CP (потому что P=M). Следовательно, SA ⊥ CP. Значит, SA ⊥ CM.

Проверим остальные варианты еще раз:

1) SM и OC: SM — медиана в SBC. OC — часть диагонали ромба (в задаче 11). Здесь OC — отрезок от вершины C к точке пересечения медиан O. SA ⊥ OC. А SM? SM не перпендикулярно OC.
2) SA и SC: SA ⊥ плоскости ABC. SC — наклонная. Не перпендикулярны.
3) SM и BC: AM ⊥ BC. SM — медиана в SBC. Не факт, что SM ⊥ BC.
4) NB и CP: BN и CP — медианы правильного треугольника. Они не перпендикулярны (угол между ними 120 градусов).
5) SA и CM: SA ⊥ плоскости ABC. CM — медиана CP (где M=P — середина AB). Следовательно, SA ⊥ CM.

Дополнительное рассуждение:

Если речь идет о перпендикулярности двух прямых в пространстве, то они могут быть скрещивающимися или пересекающимися.

SA ⊥ плоскости ABC.

Значит, SA перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC. Медиана CM (или CP) лежит в плоскости ABC. Следовательно, SA ⊥ CM.

Другие возможные перпендикулярности, которые не указаны в вариантах, но следуют из условия:

SA ⊥ AB, SA ⊥ AC, SA ⊥ BC (так как все они лежат в плоскости ABC).
SA ⊥ AM, SA ⊥ BN, SA ⊥ CP (так как AM, BN, CP лежат в плоскости ABC).

Из предложенных вариантов, пара 5) SA и CM подходит, если CM является медианой, то есть M=P, где CP — медиана.

Итоговый выбор:

Единственная пара, где одна прямая перпендикулярна плоскости, содержащей другую прямую, это SA и CM (при условии, что CM — это медиана).

Ответ: 5