12) Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Доказать: B₁C ∥ (ADD₁).

Рассмотрим грань куба ADA₁D₁. Её диагональ A₁D лежит в плоскости (ADD₁).

Противоположные грани куба ADA₁D₁ и BCC₁B₁ параллельны и равны, поэтому соответствующие диагонали A₁D и B₁C параллельны: A₁D ∥ B₁C.

Прямая A₁D принадлежит плоскости (ADD₁), а B₁C ей не принадлежит. Следовательно, B₁C параллельна прямой, лежащей в плоскости (ADD₁), и не пересекает эту плоскость.

Ответ: B₁C ∥ (ADD₁).