12. Дано: AD ⟂ AC, AC ⟂ AB, BD ⟂ CD. Докажите, что BD ⟂ (ACD).

Доказательство.

1. В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора: BC² = AB² + AC².
2. В прямоугольном треугольнике BCD, поскольку BD ⟂ CD: BC² = BD² + CD².
3. В прямоугольном треугольнике ACD, поскольку AD ⟂ AC: CD² = AD² + AC².
4. Приравняем выражения для BC² и подставим CD² = AD² + AC²: AB² + AC² = BD² + AD² + AC². Следовательно, AB² = BD² + AD².
5. По обратной теореме Пифагора треугольник ABD прямоугольный при D, поэтому BD ⟂ AD.
6. Прямые AD и CD пересекаются и лежат в плоскости (ACD). Так как BD перпендикулярна обеим этим прямым, BD ⟂ (ACD).