12. Диагональ прямоугольника образует угол 43° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Пусть угол между диагональю AC и стороной AB равен \( \angle CAB = 43^{\circ} \).

Так как ABCD — прямоугольник, то \( \angle ABC = 90^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике ABC, угол \( \angle ACB = 90^{\circ} - \angle CAB = 90^{\circ} - 43^{\circ} = 47^{\circ} \).

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: \( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим треугольник AOB. \( AO = BO \), следовательно, он равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA = 43^{\circ} \).

Угол между диагоналями \( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (43^{\circ} + 43^{\circ}) = 180^{\circ} - 86^{\circ} = 94^{\circ} \).

Угол \( \angle AOB = 94^{\circ} \) является тупым углом между диагоналями.

Смежный с ним угол \( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 94^{\circ} = 86^{\circ} \).

Угол \( \angle BOC = 86^{\circ} \) является острым углом между диагоналями.

Проверка: В треугольнике BOC: \( OB = OC \) (равнобедренный). \( \angle OBC = \angle ACB = 47^{\circ} \). \( \angle BOC = 180^{\circ} - (47^{\circ} + 47^{\circ}) = 180^{\circ} - 94^{\circ} = 86^{\circ} \).

Ответ: 86.