12. Диагональ равнобедренной трапеции делит пополам её тупой угол. Найдите периметр трапеции, если её основания равны 10 см и 20 см.

Пусть основания равны 20 см и 10 см, а боковая сторона — \(c\). В равнобедренной трапеции короткое основание расположено симметрично относительно длинного, поэтому горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \((20-10)/2=5\) см.

Рассмотрим диагональ, проведённую из вершины острого угла к противоположной вершине тупого угла. Поскольку основания параллельны, угол между диагональю и длинным основанием равен углу между диагональю и коротким основанием. Если диагональ делит тупой угол пополам, эти равные углы составляют половины тупого угла. Следовательно, угол между диагональю и длинным основанием равен острому углу трапеции.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой и половиной разности оснований, тангенс острого угла равен \(h/5\). В треугольнике, образованном той же высотой и проекцией диагонали, тангенс этого угла также равен \(h/15\) для диагонали, соединяющей вершины так, как описано. Равенство этих значений потребовало бы \(h/5=h/15\), что невозможно при ненулевой высоте.

Эквивалентно, равнобедренная трапеция с основаниями 20 см и 10 см не может иметь диагональ, делящую пополам тупой угол: для такой диагонали условие биссектрисы требует равенства отрезков на параллельных основаниях, тогда как соответствующие отрезки равны 5 см и 15 см.

Ответ: такой трапеции не существует, поэтому периметр определить нельзя.