12. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке O. Биссектриса угла AOD пересекает сторону AD в ее середине. Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Обозначим через M середину стороны AD; по условию OM — биссектриса угла AOD. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина BD.

Рассмотрим треугольник ADB. Точка M — середина AD, а O — середина DB, следовательно, MO — средняя линия треугольника ADB. Значит, MO ∥ AB.

Так как OM является биссектрисой угла AOD, то ∠AOM = ∠MOD. Из параллельности MO ∥ AB и коллинеарности O, B, D получаем ∠AOM = ∠OAB, а ∠MOD = ∠OBA. Следовательно, ∠OAB = ∠OBA, поэтому треугольник AOB равнобедренный и OA = OB.

Диагонали параллелограмма AC и BD делятся пополам в точке O. Из OA = OB следует AC = 2OA = 2OB = BD. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.