12. Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. Пусть в параллелограмме BCMH диагонали взаимно перпендикулярны. Тогда в треугольнике BCH медиана BE является высотой, а значит, треугольник BCH является равнобедренным, то есть BC = BH. Значит, две смежные стороны параллелограмма BCMH являются равными. Отсюда следует, что параллелограмм BCMH является ромбом (задача № 9). Определение: квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Доказательство. Пусть диагонали параллелограмма BCMH перпендикулярны и пересекаются в точке E. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому E — середина CH, а BE — медиана треугольника BCH.

Так как диагонали перпендикулярны, BE ⟂ CH. Следовательно, медиана BE одновременно является высотой треугольника BCH. Если медиана треугольника является высотой, то треугольник равнобедренный: BC = BH.

В параллелограмме равные смежные стороны означают, что все его стороны равны. Значит, BCMH — ромб.

Определение: квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Ответ: параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.