12. Два экскаватора, работая совместно, могут вырыть котлован за 48 ч. За какое время каждый из них может вырыть котлован, работая в отдельности, если первому нужно для этого на 40 ч больше, чем второму?

Решение:

Пусть \( x \) — время, за которое второй экскаватор выроет котлован, работая в отдельности (в часах).

Тогда \( x + 40 \) — время, за которое первый экскаватор выроет котлован, работая в отдельности (в часах).

Производительность второго экскаватора равна \( \frac{1}{x} \) котлована в час.

Производительность первого экскаватора равна \( \frac{1}{x+40} \) котлована в час.

Совместная производительность двух экскаваторов равна \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+40} \).

По условию задачи, работая совместно, экскаваторы вырывают котлован за 48 часов. Значит, их совместная производительность равна \( \frac{1}{48} \) котлована в час.

Составим уравнение:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+40} = \frac{1}{48} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{x+40 + x}{x(x+40)} = \frac{1}{48} \]

Упростим числитель:

\[ \frac{2x+40}{x^2+40x} = \frac{1}{48} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ 48(2x+40) = x^2+40x \]

Раскроем скобки:

\[ 96x + 1920 = x^2+40x \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\[ x^2 + 40x - 96x - 1920 = 0 \]

Упростим:

\[ x^2 - 56x - 1920 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-56)^2 - 4(1)(-1920) = 3136 + 7680 = 10816 \]

Найдём \( \sqrt{D} \):

\[ \sqrt{10816} = 104 \]

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 + 104}{2} = \frac{160}{2} = 80 \]

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 - 104}{2} = \frac{-48}{2} = -24 \]

Так как время не может быть отрицательным, корень \( x_2 = -24 \) отбрасываем.

Итак, второй экскаватор выроет котлован за \( x = 80 \) часов.

Первый экскаватор выроет котлован за \( x+40 = 80 + 40 = 120 \) часов.

Ответ: Первый экскаватор — 120 ч, второй экскаватор — 80 ч.