12. Два экскаватора, работая совместно, могут вырыть котлован за 48 ч. За какое время каждый из них может вырыть котлован, работая в отдельности, если первому нужно для этого на 40 ч больше, чем второму?

Решение:

Пусть \( t_1 \) — время, за которое первый экскаватор вырывает котлован в одиночку, а \( t_2 \) — время, за которое второй экскаватор вырывает котлован в одиночку.

По условию задачи, первый экскаватор работает на 40 часов дольше, чем второй: \( t_1 = t_2 + 40 \).

Производительность первого экскаватора: \( V_1 = \frac{1}{t_1} \) (котлована в час).

Производительность второго экскаватора: \( V_2 = \frac{1}{t_2} \) (котлована в час).

Когда экскаваторы работают вместе, их производительность складывается. По условию, совместно они вырывают котлован за 48 часов. Значит, их совместная производительность равна \( \frac{1}{48} \) котлована в час.

Составим уравнение:

\( V_1 + V_2 = \frac{1}{48} \)

Подставим выражения для \( V_1 \) и \( V_2 \):

\( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{48} \)

Теперь подставим \( t_1 = t_2 + 40 \) в это уравнение:

\( \frac{1}{t_2 + 40} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{48} \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{t_2 + (t_2 + 40)}{(t_2 + 40)t_2} = \frac{1}{48} \)

\( \frac{2t_2 + 40}{t_2^2 + 40t_2} = \frac{1}{48} \)

Перемножим крест-накрест:

\( 48(2t_2 + 40) = t_2^2 + 40t_2 \)

\( 96t_2 + 1920 = t_2^2 + 40t_2 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( t_2^2 + 40t_2 - 96t_2 - 1920 = 0 \)

\( t_2^2 - 56t_2 - 1920 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-56)^2 - 4(1)(-1920) = 3136 + 7680 = 10816 \]

Найдём \( \sqrt{D} \):

\[ \sqrt{10816} = 104 \]

Теперь найдём значения \( t_2 \):

\[ t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 \pm 104}{2} \]

Два возможных значения для \( t_2 \):

\[ t_{2,1} = \frac{56 + 104}{2} = \frac{160}{2} = 80 \]

\[ t_{2,2} = \frac{56 - 104}{2} = \frac{-48}{2} = -24 \]

Так как время не может быть отрицательным, отбрасываем \( t_2 = -24 \).

Итак, второй экскаватор вырывает котлован за \( t_2 = 80 \) часов.

Теперь найдём время для первого экскаватора:

\( t_1 = t_2 + 40 = 80 + 40 = 120 \) часов.

Проверим:

Совместная производительность: \( \frac{1}{120} + \frac{1}{80} = \frac{2}{240} + \frac{3}{240} = \frac{5}{240} = \frac{1}{48} \). Условие выполняется.

Ответ: Первый экскаватор может вырыть котлован за 120 ч, а второй — за 80 ч.