12. Две стороны треугольника равны 4√2 см и 7 см, а угол между ними 45°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Решение:

Для решения этой задачи будем использовать теорему косинусов и формулу площади треугольника.

1. Находим третью сторону треугольника:

Пусть стороны треугольника равны $$a = 4\sqrt{2}$$ см, $$b = 7$$ см, а угол между ними $$\gamma = 45^\circ$$. Найдем третью сторону $$c$$ по теореме косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]

Подставим известные значения:

\[ c^2 = (4\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot (4\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \cos 45^\circ \]

Вычислим:

\[ c^2 = (16 \cdot 2) + 49 - 2 \cdot 28\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ c^2 = 32 + 49 - 56 \cdot \frac{2}{2} \]

\[ c^2 = 32 + 49 - 56 \]

\[ c^2 = 81 - 56 \]

\[ c^2 = 25 \]

Извлекаем квадратный корень:

\[ c = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]

2. Находим площадь треугольника:

Площадь треугольника ($$S$$) находится по формуле:

\[ S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \sin 45^\circ \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 28\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ S = 14\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ S = 14 \cdot \frac{2}{2} \]

\[ S = 14 \text{ см}^2 \]

Ответ: Третья сторона треугольника равна 5 см, а его площадь равна 14 см².