12. Движущийся равномерно автомобиль сделал разворот, на котором описал половину окружности. Сделать чертёж, на котором размером указать путь и перемещение автомобиля за всё время разворота и за треть этого времени. Во сколько раз путь, пройденный за указанные промежутки времени, больше модулей векторов соответствующих перемещений?

Для численного ответа нужны радиус окружности разворота. Кроме того, при равномерном движении за треть времени разворота автомобиль проходит треть полуокружности; соответствующее перемещение зависит от положения начала отсчёта. Радиус и начальное положение на рисунке не указаны, поэтому точные размеры и чертёж с размерами определить нельзя.

Обозначим радиус разворота через \(R\). За всё время разворота путь равен длине полуокружности: \(s_1=\pi R\). Перемещение соединяет диаметрально противоположные концы дуги, поэтому \(|\Delta r_1|=2R\), а отношение равно \(\frac{\pi R}{2R}=\frac{\pi}{2}\).

За треть времени путь равен \(s_2=\frac{\pi R}{3}\). За это время автомобиль проходит дугу с центральным углом \(\frac{\pi}{3}\); модуль перемещения равен хорде \(|\Delta r_2|=2R\sin(\frac{\pi}{6})=R\). Отношение равно \(\frac{\pi R/3}{R}=\frac{\pi}{3}\).

Ответ: за весь разворот путь больше модуля перемещения в \(\frac{\pi}{2}\) раза, за треть времени — в \(\frac{\pi}{3}\) раза. Для чертежа с числовыми размерами нужен радиус разворота.