12. Движущийся равномерно автомобиль сделал разворот, описав половину окружности. Сделать чертёж, на котором указать пути и перемещения автомобиля за всё время разворота и за треть этого времени. Во сколько раз пути, пройденные за указанные промежутки времени, больше модулей векторов соответствующих перемещений?

Пусть радиус окружности равен \(R\). За всё время разворота автомобиль проходит половину окружности:

\(s_1=\pi R\).

Перемещение соединяет начальную и конечную точки полуокружности, поэтому является диаметром:

\(|\Delta \vec r_1|=2R\).

За треть времени автомобиль проходит дугу, соответствующую углу \(\varphi=\pi/3\):

\(s_2=\frac{\pi R}{3}\).

Модуль перемещения равен хорде:

\(|\Delta \vec r_2|=2R\sin\frac{\varphi}{2}=2R\sin\frac{\pi}{6}=R\).

Отношения путей к модулям перемещений:

\(\frac{s_1}{|\Delta \vec r_1|}=\frac{\pi R}{2R}=\frac{\pi}{2}\);

\(\frac{s_2}{|\Delta \vec r_2|}=\frac{\pi R/3}{R}=\frac{\pi}{3}\).

Ответ: за всё время путь больше модуля перемещения в \(\frac{\pi}{2}\) раза; за треть времени — в \(\frac{\pi}{3}\) раза.