12. Hisoblang: \( \left( 1 + \frac{19}{39} \right) + \left( 1 + \frac{19}{39} \cdot 1 \right) + \dots + \left( 1 + \frac{19}{39} \cdot 12 \right) \)

Решение:

Заданное выражение представляет собой сумму арифметической прогрессии.

1. Обозначим члены прогрессии как \( a_n = 1 + \frac{19}{39} \cdot n \), где \( n \) — номер члена прогрессии от 1 до 12.
2. Первый член прогрессии: \( a_1 = 1 + \frac{19}{39} \cdot 1 = 1 + \frac{19}{39} = \frac{39+19}{39} = \frac{58}{39} \).
3. Последний член прогрессии (12-й): \( a_{12} = 1 + \frac{19}{39} - \).
4. Для удобства вычисления, перепишем выражение как сумму всех единиц и сумму дробей: \( (1+1+\dots+1) + (\frac{19}{39} + \frac{19}{39} \cdot 1 + \frac{19}{39} \cdot 2 + \dots + \frac{19}{39} \cdot 12) \).
5. Сумма 12 единиц равна \( 12 \).
6. Вынесем \( \frac{19}{39} \) за скобки в сумме дробей: \( \frac{19}{39} (1 + 1 + 2 + \dots + 12) \).
7. Сумма чисел от 1 до 12 равна \( \frac{12 - (12+1)}{2} = \frac{12 - 13}{2} = 6 - 13 = 78 \).
8. Сумма дробей: \( \frac{19}{39} - 78 \). Заметим, что \( 78 = 2 - 39 \).
9. \( \frac{19}{39} - (2 - 39) = 19 - 2 = 38 \).
10. Общая сумма: \( 12 + 38 = 50 \).

Ответ: 50