12. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: добавить один камень в кучу; увеличить количество камней в куче в 2 раза. Например, если в куче 3 камня, за один ход можно получить 4 или 6 камней соответственно. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 69. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в куче будет 69 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≤ 68. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Если Петя своим ходом не завершает игру, после него в куче должно остаться не более 68 камней. Чтобы Ваня мог выиграть одним ходом, это число должно быть не менее 35: тогда удвоение даёт не менее 70.

Следовательно, для каждого хода Пети результат должен быть в диапазоне от 35 до 68. Петя может прибавить 1 или удвоить число камней, поэтому необходимо, чтобы и S + 1, и 2S находились в этом диапазоне.

Из условий получаем: 35 ≤ S + 1 ≤ 68, откуда 34 ≤ S ≤ 67; 35 ≤ 2S ≤ 68, откуда 18 ≤ S ≤ 34. Пересечение условий — S = 34.

Проверка: после хода Пети 34 превращается либо в 35, либо в 68. В первом случае Ваня удваивает число камней и получает 70; во втором прибавляет 1 и получает 69. Петя не может выиграть за один ход, поскольку ни 34 + 1, ни 2 · 34 не достигают 69.

Ответ: 34.