12. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 6 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

Дано:

• Автомобилисты выехали из А в В одновременно.
• Первый автомобиль: скорость постоянная, обозначим её \(v_1\).
• Второй автомобиль:
• Первая половина пути (\(S/2\)): скорость \(v_2 = 55\) км/ч.
• Вторая половина пути (\(S/2\)): скорость \(v_3 = v_1 + 6\) км/ч (скорость первого + 6 км/ч).
• Оба прибыли в В одновременно.

Найти: Скорость первого автомобилиста (\(v_1\)).

Решение:

Пусть \(S\) - расстояние между пунктами А и В. Пусть \(t_1\) - время в пути первого автомобиля, а \(t_2\) - время в пути второго автомобиля.

Так как они прибыли одновременно, то \(t_1 = t_2\).

Для первого автомобиля:

\[ t_1 = \frac{S}{v_1} \]

Для второго автомобиля время складывается из времени движения по первой половине пути и времени движения по второй половине пути:

\[ t_2 = \frac{S/2}{v_2} + \frac{S/2}{v_3} \]

\[ t_2 = \frac{S}{2 \times 55} + \frac{S}{2 \times (v_1 + 6)} \]

\[ t_2 = \frac{S}{110} + \frac{S}{2(v_1 + 6)} \]

Приравниваем время:

\[ \frac{S}{v_1} = \frac{S}{110} + \frac{S}{2(v_1 + 6)} \]

Разделим обе части уравнения на \(S\) (так как \(S \neq 0\)):

\[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{110} + \frac{1}{2(v_1 + 6)} \]

Приведем дроби к общему знаменателю \(2v_1(v_1+6)110\) или просто \(110 \times 2 \times (v_1+6)\) для простоты:

\[ \frac{2 \times 110 \times (v_1+6)}{2v_1 \times 110 \times (v_1+6)} = \frac{2v_1(v_1+6)}{2v_1 \times 110 \times (v_1+6)} + \frac{110v_1}{2v_1 \times 110 \times (v_1+6)} \]

Умножим обе части на общий знаменатель \(220 v_1 (v_1+6)\):

\[ 220(v_1+6) = 2v_1(v_1+6) + 110v_1 \]

\[ 220v_1 + 1320 = 2v_1^2 + 12v_1 + 110v_1 \]

\[ 220v_1 + 1320 = 2v_1^2 + 122v_1 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 2v_1^2 + 122v_1 - 220v_1 - 1320 = 0 \]

\[ 2v_1^2 - 98v_1 - 1320 = 0 \]

Разделим уравнение на 2:

\[ v_1^2 - 49v_1 - 660 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-49)^2 - 4 \times 1 \times (-660) \]

\[ D = 2401 + 2640 \]

\[ D = 5041 \]

Найдем корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{5041} = 71 \]

Найдем значения \(v_1\):

\[ v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 + 71}{2 \times 1} = \frac{120}{2} = 60 \]

\[ v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 - 71}{2 \times 1} = \frac{-22}{2} = -11 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, то \(v_1 = 60\) км/ч.

Проверим условие для второго автомобиля: скорость \(v_3 = v_1 + 6 = 60 + 6 = 66\) км/ч.

Теперь рассчитаем время:

Время первого: \(t_1 = S/60\).

Время второго: \(t_2 = \frac{S}{2 \times 55} + \frac{S}{2 \times 66} = \frac{S}{110} + \frac{S}{132}\).

Приведем \(t_2\) к общему знаменателю (660):

\[ t_2 = \frac{6S}{660} + \frac{5S}{660} = \frac{11S}{660} = \frac{S}{60} \]

Время совпадает, значит, решение верное.

Ответ: 60 км/ч