12. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 56°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Поскольку А и В — точки касания, то радиусы ОА и ОВ перпендикулярны касательным. Следовательно, \( \angle OAB = 90° \) и \( \angle OBA = 90° \).

2. Рассмотрим четырёхугольник АСВO, где С — точка пересечения касательных.

3. Сумма углов четырёхугольника равна \( 360° \).

4. У нас есть \( \angle ACB = 56° \). Так как ОА и ОВ — радиусы, проведённые к точкам касания, то \( OA = OB \).

5. Треугольник АОВ — равнобедренный.

6. Угол между касательными равен \( 56° \). В четырёхугольнике АСВO, \( \angle CAO = \angle CBO = 90° \).

7. Сумма углов четырёхугольника: \( \angle ACB + \angle CAO + \angle CBO + \angle AOB = 360° \).

\( 56° + 90° + 90° + \angle AOB = 360° \)

\( 236° + \angle AOB = 360° \)

\( \angle AOB = 360° - 236° = 124° \).

8. В равнобедренном треугольнике АОВ, сумма углов равна \( 180° \). \( \angle OAB = \angle OBA \).

\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180° \)

\( 2 \angle OBA + 124° = 180° \)

\( 2 \angle OBA = 180° - 124° \)

\( 2 \angle OBA = 56° \)

\( \angle OBA = \frac{56°}{2} = 28° \).

Ответ: 28°.